Quadratische Funktionen können allgemein in dieser Form (einige nennen sie die “Normalform”) geschrieben werden:
Im unterem Rechner wird auch die Funktion
gezeichnet. Dies ist n(x) ohne den quadratischen Anteil a x^2.
Du siehst, dass sich n(x) und g(x) auf der y-Achse (x=0) berühren.
Man kann in dieser Form also leicht ablesen, wo die y-Achse von den Funktionen geschnitten wird.
Der Y-Achsenabschnitt ist einfach n(0)=g(0)=c.
Eine andere Darstellung ist
Bei dieser ist es wiederum einfach, den Scheitelpunkt der Parabel abzulesen.
Warum ?
Schaut dir dazu dieses Sheet an:
Wenn man die Variablen p und q laufen lässt, sieht man, dass der Scheitelpunkt S einfach direkt durch sie bestimmt ist:
Deshalb wird sie auch von manchen Menschen “Scheitelpunktsform” genannt.
TODO: Video einfügen, das dies demonstriert
Wie kommt man denn nun von der einen Darstellung (a,b,c) zu der anderen (a,p,q) ?
Du kannst dazu versuchen, Werte für a, b und c zu wählen und dann solange p und q zu ändern, biss die Grafen aufeinander liegen.
Die passenden Werte für p und $q" sollten sich doch aber auch berechnen lassen …
Das Verfahren dazu nennt sich “quadratische Ergänzung”. Es gibt einen Haufen Videos dazu bei youtube, die für meinen Geschmack allerdings leider keine anschauliche Form nutzen, zu zeigen, was man da eigentlich macht.
Besser macht es dieses Video aus der Wikipedia-Seite für die quadratische Ergänzung:
Hier ist die gleiche Erklärung noch einmal konkreter dargestellt:
