Ich erarbeite zurzeit ein digitales Exponat zur Konstruktion von 2^0.5 als Anschauungsmaterial für den Umgang mit Brüchen in unterschiedlichen Basen sowie der Konstruktion irrationaler Zahlen.
Der Anfang des Algorithmus kann haptisch mit Papier und Schere oder abstrakter durch das Auslegen der Multiplikation mit Murmeln erfolgen.
In Basis zwei sieht das Exponat so aus:
Man kann in den Rand “zoomen”, um die zu kleinen Schichten zu sehen:
Der extreme Zoom entspricht dem Muster, das man durch Auslegen von Murmeln konstruieren kann:
Die Parameter Basis, Iterationstiefe, Zoom etc. kann man live am Exponat einstellen.
Diese Visualisierung kann online ausprobiert werden (GitHub - thoka/sqrt2 · GitHub).
Einstellungen erscheinen, wenn man mit der Maus oben rechts in die Ecke fährt.
Interaktionsmöglichkeiten
Durch ein zweites Fenster / verbundenes Gerät eines Besuchers oder auch haptische Regler können die Parameter der Visualisierung in Echtzeit verändert werden. Wenn man Visualisierung und Steuerung in unterschiedlichen Tabs/Fenstern öffnet, steuert die Steuerung das andere Tab. Öffnet man mehrere Visualiesierungsfenster, werden diese auch untereinander synchronisiert.
Weitere Einstellungen werden sichtbar, wenn man mit der Maus in die obere rechte Ecke fährt.
Tastensteuerung
Welche Erkenntnismöglichkeiten bietet das Exponat an?
Dieses Spiel wird in unserer Schule ab und zu exzessiv gespielt.
Dabei dienen Murmeln als Bank für den Rest. Jede Farbe entspricht einer Potenz der Basis (bisher hat noch niemand das Spiel in einer anderen als Basis 10 gespielt).
Für die Visualisierung dieser Abstraktion gibt es die Bank-Darstellung am rechten Rand.
Die Bilder, die aus Murmeln entstehen, sind äquivalent zu dem, was die Visualisierung mit maximalem Zoom liefert, also dem letzten Bild in meinem ersten Schreiben.
Die Visualisierung bietet damit einen “kontinuierlichen Übergang” vom Konkreten (echte Flächen mit den echten Flächen/Längernverhältnissen) über eine quasi-logarithmische Darstellung zu der abstrakten Idee: Ein Exponent entspricht einer Farbe / einer Stelle in der Zahlendarstellung.
Ich werde noch einbauen, dass es einen entsprechenden Hinweis gibt, wenn der Mauszeiger auf ein Rechteck der Visualisierung zeigt.
-
“quasi haptische” Nachvollziehbarkeit einer Folge, die gegen sqrt(2) konvergiert .
Die anfänglichen Operationen (Einheitsquadrat in Teile unterteilen, auslegen) lassen sich mit konkretem Material (vorgeschnittene Teile) und Papier und Schere mit aktivem Tun nachvollziehen.
-
Multiplikation von rationalen Zahlen und Veranschaulichung der immer kleiner werdenden Teile (1, 1/10, 1/100)
-
Veranschaulichung der unterschiedlichen Quellen beim Multiplizieren für Teile gleicher Potenz ( 1/4 x 1/4 = 1/2 x 1/8 = 1 x 1/16)
-
irrationale Zahlen hören in Kommaschreibweise nicht auf
-
Algorithmus nachverfolgen, der einen Aufwand O(n^2) visualisiert
-
Visualisierung der binomischen Formel und weiterer ( a_1 … a_n) ^2 Formeln (mit Antippen der entsprechenden Stelle in der Zahlendarstellung im Controller könnten die entsprechenden Summanden mit gleicher Potenz der Basis markiert werden.
Wie lese ich denn da die Wurzel zwei ab?
\sqrt2 ist die Seitenlänge eines Qudrates mit Flächeninhalt 2.
Wir beginnen mit zwei Einheitsquadraten.
Dann zerschneiden wir das rechte Quadrat und legen daraus Schalen an das Zielquadrat links in solcher Form, dass dieses weiterhin ein Quadrat bleibt.
Wenn wir die Fläche rechts ganz aufgebraucht haben, haben wir links ein Quadrat mit der Fläche 2 konstruiert.
Da wir die Breite der Streifen kennen, ergibt sich die Länge des Zielquadrats als deren Summe.
Die Anzahl der Teile, in die ein größeres Restteil zerteilt wird, nennen wir Basis.
In unserer üblichen “Basis 10”-Darstellung sieht die Konstruktion wie folgt aus:
Erste Schale ist fertig. Länge links ist 1.1, rechts wurden verbraucht 2*(1/10)^1, 1x(1/10)^2, übrig bleiben 7x(1/10) + 9x(1/10)^2:
Zweite Schale ist fertig:
Vierte schale ist fertig. Der Rest muss weiter geteilt werden, um mit der nächsten Schale zu beginnen
Mehr \frac{1}{10} breite Streifen gibt es nicht.
Die erste Stelle nach dem Komma im Dezimalsystem bleibt also 4, auch wenn wir weiter die Reste an das Zielquadrat legen.
Einladung
Ich freue mich über Möglichkeiten zur Zusammenarbeit.
